Задания С2.

1)      Все ребра правильной призмы ABCDEFA₁...F₁  равны 1. Найдите косинус угла между прямыми АВ₁ и  BD₁.

Решение:

Угол между скрещивающимися прямыми АВ₁  и  BD₁

Равен углу между пересекающимися прямыми АВ₁  и

 BD₁, так как  А || BD₁.

Найдем косинус угла В₁А Е₁:

Ответ:    

 

2)      К диагонали куба, соединяющей две его вершины, не лежащие в одной грани, провели перпендикуляры из остальных вершин куба. На сколько частей и в каком отношении основания этих перпендикуляров разделили диагональ?

Решение:  Пусть ребро куба А -  D₁ равно 1. Спроектируем вершины куба на диагональ АС₁.

Так как АВ = 1, 

 

 

 DАВМ ~ DАС₁В,   следовательно,

 

 

 

Ответ:   на три равных части.

Комментарий: возможен векторный способ решения. Для этого необходимо рассмотреть три некомпланарных единичных вектора 

 

3)      Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла  между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

 

 

Решение:  Рассмотрим первый  случай, когда хорды находятся

по разные стороны от центров кругов оснований.

 Найдем тангенс угла  между  построенной  плоскостью и
плоскостью основания цилиндра из D MN₁ N.

Ð N = 90°,  NN₁ = OO₁ = 28. Найдем катет MN.

(египетский треугольник)

 

Рассмотрим второй  случай, когда хорды находятся

по одну сторону от центров кругов оснований.

Ход решения аналогичен предыдущему случаю, но

MN = ON – OM = 8 – 6 = 2.

 

 

 

 

Ответ:   2 или 14.

4)      Ребра AD и BC пирамиды   ABCD  равны 24 и 10. Расстояние  между  серединами ребер BD и АС  равно 13. Найдите угол  между  прямыми BC и AD.

так как

Решение:

(по условию)

 

Углом  между  прямыми  BC и AD

является угол  ÐNKM.

 

 

Ответ:  9